Cálculo Ejemplos

$2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x = 7 π$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x) = \frac{d}{d x} (7 π)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (y)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$2 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x) \cos (y)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + 1$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x)) + 1$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x) + 1$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$

Paso 3

Como $7 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$ .

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $3 \cos (x) \cos (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 1 + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1$

Paso 5.2.3

Resta $2 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Paso 5.3

Factoriza $3 y' \sin (y)$ de $- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3 y' \sin (y)$ de $- 3 y' \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Paso 5.3.2

Factoriza $3 y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Paso 5.3.3

Factoriza $3 y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x)$ .

$3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ por $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ por $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $- 1 + \sin (x)$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.3

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.4

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.5

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1.5.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.6

Multiplica $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.4.3.1.6.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.6.2

Combina $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ y $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.7

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{1}{\sin (y)} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.8

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.10

Combina $\csc (y)$ y $\frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.11

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.4.3.1.12

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.13

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.14

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1.14.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.14.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.4.3.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.4.3.1.16

Multiplica $- \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.4.3.1.16.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y)$

Paso 5.4.3.1.16.2

Combina $\csc (y)$ y $\frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 2)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.17

Mueve $2$ a la izquierda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.2

Para escribir $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{(- 1 + \sin (x)) \cdot 3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.3.5.1

Factoriza $\csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)$ .

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Paso 5.4.3.5.1.1

Factoriza $\csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.5.1.2

Factoriza $\csc (y)$ de $- \csc (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.5.1.3

Factoriza $\csc (y)$ de $\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3 - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x) \cos (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.6.2

Factoriza $\csc (y)$ de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)$ .

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Paso 5.4.3.6.2.1

Factoriza $\csc (y)$ de $- 2 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.6.2.2

Factoriza $\csc (y)$ de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.6.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) + \sin (x))}$

Paso 5.4.3.6.4

Factoriza $- 1$ de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}$

Paso 5.4.3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}$

Paso 5.4.3.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$