Cálculo Ejemplos

$x y^{2} - 2 x^{2} y = 1 + x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - 2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} - 2 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y') - 2 (2 y x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 x^{2} y' - 4 y x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 3.4

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x - y^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $4 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Paso 5.2

Factoriza $2 x y'$ de $2 x y y' - 2 x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 x y'$ de $2 x y y'$ .

$2 x y' y - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 x y'$ de $- 2 x^{2} y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' (- x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 x y'$ de $2 x y' y + 2 x y' (- x)$ .

$2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ por $2 x (y - x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ por $2 x (y - x)$ .

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $y - x$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{y - x} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4 x y$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (y - x)$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Paso 5.3.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Paso 5.3.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{1}{y - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{1}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - x) \cdot 2 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{y - x}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - x) (2 x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Paso 5.3.3.5

Para escribir $\frac{2 y}{y - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Paso 5.3.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 x (y - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Multiplica $\frac{2 y}{y - x}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{(y - x) (2 x)}$

Paso 5.3.3.6.2

Reordena los factores de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Paso 5.3.3.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$