Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{x}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.2.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ en $x = 1$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Divide $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = e$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $e$ .

$e$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ es $y = e$ .

$y = e$

Paso 5