Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Reorganiza los términos.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.4

Reescribe $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $\sec^{2} (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Paso 3.2.2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Paso 4

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$