Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Paso 2

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $e^{u}$ en $- t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Paso 6.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.2

Como el exponente $- t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t}$ se acerca a $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.3

Evalúa el límite.

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Paso 6.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 6.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (0 - 1)$

Paso 6.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- - 1$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$