Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + k e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k e^{x}$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $e^{x} k + 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Multiplica $x$ por $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $k e^{x} \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Multiplica $0$ por $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Multiplica $0$ por $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Multiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Resta $k e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{x} k$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- (e^{x} k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.8

Reescribe $- (e^{x} k + 1)$ como $- 1 (e^{x} k + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Paso 5.10

Reordena los factores en $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ .

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$