Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{3 - 2 x} x^{2} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sqrt{3 - 2 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina ${(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Paso 5

Sea $u = 3 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 5.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{- 2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 6.2

Combina $u^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.2

Combina $- \frac{u}{2}$ y $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{1 + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.7

Suma $2$ y $3$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8.9

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u)$

Paso 8.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u)$

Paso 8.11

Reordena $- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4}$ y $\frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- \int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u)$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\int \frac{3 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Paso 10

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Paso 12

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{4} d u))$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{5}{2}} d u)))$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3}{4} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Paso 16.2

Simplifica.

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) + C$

Paso 16.3

Simplifica.

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Paso 16.3.1

Para escribir $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 16.3.2

Combina $\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}))$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})) \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.3.4

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Paso 16.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{6}{3}}{3} + C$

Paso 16.3.6

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 16.3.6.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3}}{3} + C$

Paso 16.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}{3} + C$

Paso 16.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Paso 16.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot \frac{2}{1}}{3} + C$

Paso 16.3.6.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14}) \cdot 2}{3} + C$

Paso 16.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 u^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{u^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 2 x$ .

$\frac{- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}}}{14})}{3} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (- x^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{10} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{14} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{2}})) + C$