Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{2 y}$ y quítalo del denominador.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Paso 1.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Paso 3.2

Combina $y$ y $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Paso 4

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Paso 6

Sea $u = - 2 y$ . Entonces $d u = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 6.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Paso 12.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 2$ y en $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.2

Multiplica $e^{- 2}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.3

Mueve $e^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.7

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 12.3.7.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.8

Suma $- \frac{1}{2 e^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Paso 12.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Paso 12.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Paso 12.3.11

Para escribir $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.12

Combina $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ y $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.15

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.16

Combina $e^{2}$ y $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.17

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.18

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 12.3.18.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 12.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 13.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Paso 13.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Paso 13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

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Paso 14.2.1

Combina $\frac{e^{2}}{2}$ y $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $e^{2}$ por $e^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Paso 14.2.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Paso 14.2.3

Simplifica $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Paso 14.3

Combina $\frac{e^{2}}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.5

Reescribe $- 1 e^{2}$ como $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.6

Simplifica el numerador.

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Paso 14.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Paso 14.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Paso 14.8

Multiplica $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Paso 14.8.1

Multiplica $\frac{3 - e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Paso 14.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Forma decimal:

$0.14849853 \dots$

Paso 16