Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x}}{x^{3} + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{3} + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2 + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.6

Simplifica el numerador.

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Paso 13.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{4 + 1}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 13.6.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.1.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.1.2

Combina $x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.2

Para escribir $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.3

Combina $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.5.1.1

Factoriza $x^{\frac{5}{2}}$ de $x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2$ .

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Paso 14.2.5.1.1.1

Mueve $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.1.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.1.1.3

Factoriza $x^{\frac{5}{2}}$ de $- 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.1.1.4

Factoriza $x^{\frac{5}{2}}$ de $x^{\frac{5}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{5}{2}} (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} (1 - 3 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} (1 - 6)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.1.3

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot - 5}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 5 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3

Combina los términos.

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$ por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.2

Combinar.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.4

Cancela el factor común de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 14.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 (5 x^{\frac{5}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.7

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.8

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 10 x^{\frac{5}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.9

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{5}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.3.9.1

Mueve $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{x^{\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{5 + 1}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.9.4

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{6}{2}} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.9.5

Divide $6$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{3} \cdot - 10}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.10

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{- 10 \cdot x^{3}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.11

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 14.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 10 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 (- 5 x^{3})}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 5 x^{3}}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.3.11.2.4

Divide $- 5 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 14.4

Simplifica el denominador.

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Paso 14.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Paso 14.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 14.4.3

Simplifica.

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Paso 14.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 14.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Paso 14.4.4

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 14.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 14.6

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 14.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 14.8

Reescribe $- (5 x^{3} - 1)$ como $- 1 (5 x^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Paso 14.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x^{3} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$