Cálculo Ejemplos

Evalúe la integral integral de 0 a 1 de (r^3)/( raíz cuadrada de 16+r^2) con respecto a r
Paso 1
Sea , donde . Entonces . Tenga en cuenta que ya que , es positiva.
Paso 2
Simplifica los términos.
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Paso 2.1
Simplifica .
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Paso 2.1.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.1.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2
Factoriza de .
Paso 2.1.3
Factoriza de .
Paso 2.1.4
Factoriza de .
Paso 2.1.5
Reorganiza los términos.
Paso 2.1.6
Aplica la identidad pitagórica.
Paso 2.1.7
Reescribe como .
Paso 2.1.8
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 2.2
Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.
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Paso 2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.2.1.1
Factoriza de .
Paso 2.2.1.2
Cancela el factor común.
Paso 2.2.1.3
Reescribe la expresión.
Paso 2.2.2
Simplifica.
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Paso 2.2.2.1
Factoriza de .
Paso 2.2.2.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.2.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 3
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 4
Eleva a la potencia de .
Paso 5
Factoriza .
Paso 6
Mediante la identidad pitagórica, reescribe como .
Paso 7
Simplifica.
Paso 8
Sea . Entonces , de modo que . Reescribe mediante y .
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Paso 8.1
Deja . Obtén .
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Paso 8.1.1
Diferencia .
Paso 8.1.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 8.2
Sustituye el límite inferior por en .
Paso 8.3
El valor exacto de es .
Paso 8.4
Sustituye el límite superior por en .
Paso 8.5
Los valores obtenidos para y se usarán para evaluar la integral definida.
Paso 8.6
Reescribe el problema mediante , y los nuevos límites de integración.
Paso 9
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 10
Aplica la regla de la constante.
Paso 11
Según la regla de la potencia, la integral de con respecto a es .
Paso 12
Simplifica.
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Paso 12.1
Combina y .
Paso 12.2
Combina y .
Paso 13
Sustituye y simplifica.
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Paso 13.1
Evalúa en y en .
Paso 13.2
Simplifica.
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Paso 13.2.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 13.2.2
Combina y .
Paso 13.2.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 13.2.4
Multiplica por .
Paso 13.2.5
Multiplica por .
Paso 13.2.6
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 13.2.7
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 13.2.8
Combina y .
Paso 13.2.9
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 13.2.10
Simplifica el numerador.
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Paso 13.2.10.1
Multiplica por .
Paso 13.2.10.2
Suma y .
Paso 13.2.11
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 13.2.12
Multiplica por .
Paso 13.2.13
Multiplica por .
Paso 14
Simplifica.
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Paso 14.1
Factoriza de .
Paso 14.2
Factoriza de .
Paso 14.3
Factoriza de .
Paso 14.4
Reescribe como .
Paso 14.5
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 15
El resultado puede mostrarse de distintas formas.
Forma exacta:
Forma decimal:
Paso 16