Cálculo Ejemplos

$y = \frac{(x + 5) x}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = (x + 5) x$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 5) x] - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 5$ y $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + 0)) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \cdot 1) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Expande $(x + 1) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.1.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.1.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.2.2

Suma $5 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 5 - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Resta $5 x$ de $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$