Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$