Cálculo Ejemplos

$\sin (\arctan (x))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, x)$ . Por lo tanto, $\sin (\arctan (x))$ es $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Paso 3.6.5

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$