Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$