Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - x^{2}}$ como ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 7.3

Mueve ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Paso 14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.2

Multiplica $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.5

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 15.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$