Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 12 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} - 12 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Paso 5.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 12$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 5.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2, - 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (2)$

Paso 9

Multiplica $6$ por $2$ .

$12$

Paso 10

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 - 12 \cdot 2$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 24$

Paso 11.2.2

Resta $24$ de $8$ .

$f (2) = - 16$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$y = - 16$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$6 (- 2)$

Paso 13

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- 12$

Paso 14

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24$

Paso 15.2.2

Suma $- 8$ y $24$ .

$f (- 2) = 16$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $16$ .

$y = 16$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$(2, - 16)$ es un mínimo local

$(- 2, 16)$ es un máximo local

Paso 17