Cálculo Ejemplos

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Paso 1

Sea $u = 1 + \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Paso 1.1.4

Resta $\sin (t)$ de $0$ .

$- \sin (t)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Reescribe $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$