Cálculo Ejemplos

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $x$ por $y$ en cada ecuación.

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Paso 1.1.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + y^{2} = 8$ por $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica $2$ por $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Paso 1.2

Resuelve $y$ en $2 y + y^{2} = 8$ .

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Paso 1.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $2 u + u^{2} - 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Paso 1.2.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Paso 1.2.4

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Paso 1.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Paso 1.2.5

Establece $y + 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $y + 4$ igual a $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Paso 1.2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 2) (y + 4) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y$ por $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y$ por $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Paso 2

Resuelve $2 x + y^{2} = 8$ en los términos de $x$ .

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Paso 2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = 8 - y^{2}$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 x = 8 - y^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 x = 8 - y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Divide $8$ por $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Paso 4.4

Aplica la regla de la constante.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Paso 4.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Paso 4.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Paso 4.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Paso 4.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Paso 4.9

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Paso 4.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Paso 4.10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.10.2.1

Evalúa $4 y$ en $2$ y en $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Paso 4.10.2.2

Evalúa $\frac{1}{3} y^{3}$ en $2$ y en $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Paso 4.10.2.3

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $2$ y en $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4

Simplifica.

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Paso 4.10.2.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.3

Suma $8$ y $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.6

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.7

Multiplica $- 64$ por $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.8

Combina $64$ y $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.10

Suma $8$ y $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.11

Cancela el factor común de $72$ y $3$ .

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Paso 4.10.2.4.11.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.2.4.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.11.2.2

Cancela el factor común.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.11.2.4

Divide $24$ por $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.12

Multiplica $24$ por $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.13

Combina $- 24$ y $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.14

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 4.10.2.4.14.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.2.4.14.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.14.2.2

Cancela el factor común.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.14.2.3

Reescribe la expresión.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.14.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.15

Resta $12$ de $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.17

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.10.2.4.17.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.2.4.17.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.17.2.2

Cancela el factor común.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.17.2.3

Reescribe la expresión.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.17.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Paso 4.10.2.4.18

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Paso 4.10.2.4.19

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 4.10.2.4.19.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Paso 4.10.2.4.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.2.4.19.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Paso 4.10.2.4.19.2.2

Cancela el factor común.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Paso 4.10.2.4.19.2.3

Reescribe la expresión.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Paso 4.10.2.4.19.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Paso 4.10.2.4.20

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Paso 4.10.2.4.21

Resta $8$ de $2$ .

$12 - - 6$

Paso 4.10.2.4.22

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$12 + 6$

Paso 4.10.2.4.23

Suma $12$ y $6$ .

$18$

Paso 5