Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{3} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 7

Simplifica.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$