Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

Paso 1

Reordena $9 x^{2}$ y $16$ .

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

Paso 2

Factoriza $9$ de $16 + 9 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $9$ de $16$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Paso 2.2

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Paso 2.3

Factoriza $9$ de $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

Paso 4

Reescribe $\frac{16}{9}$ como ${(\frac{4}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Paso 6.1.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Paso 6.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

Paso 6.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

Paso 6.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

Paso 6.1.6

Combina $\frac{3}{4}$ y $\arctan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ como $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $36$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$