Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x - 4$ ; between $1$ and $7$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 1 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} - x - 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.2.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ y $27$ .

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Paso 1.4.1.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4$

Paso 1.4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.5.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 4$

Paso 1.4.1.2.5.1.2

Resta $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Paso 1.4.1.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.2.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.3.3

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.4.2.2.1.3.3.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.3.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ y $27$ .

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Paso 1.4.2.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Paso 1.4.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Paso 1.4.2.2.1.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Paso 1.4.2.2.2

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4$

Paso 1.4.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4$

Paso 1.4.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Paso 1.4.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Paso 1.4.2.2.4.2

Reordena los factores de $\sqrt{3} \cdot 3$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 4$

Paso 1.4.2.2.5

Suma $- \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} - (1) - 4$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - (1) - 4$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - 4$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 - 4$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $7$ por $x$ .

${(7)}^{3} - (7) - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$343 - (7) - 4$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$343 - 7 - 4$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $7$ de $343$ .

$336 - 4$

Paso 3.2.2.2.2

Resta $4$ de $336$ .

$332$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - 4), (7, 332)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, 332)$

Mínimo absoluto: $(1, - 4)$

Paso 5