Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.4.4.2

Factoriza $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Paso 2.4.4.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Paso 2.4.4.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.4.4.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Paso 2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $- 2 (- \ln (x))$ .

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Paso 2.6.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Paso 2.6.2.1.2.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.6.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 2.6.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Paso 2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 - \ln (x) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (x) = - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Paso 5.3.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Paso 5.3.4

Reescribe $\ln (x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Paso 5.3.5

Reescribe la ecuación como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Paso 9.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Paso 9.5

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Paso 10

$x = e$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = e$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = e$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $e$ en la expresión.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ es un máximo local

Paso 13