Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ ; $[- 10, 10]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.12

Suma $1$ y $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.13

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.14

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.15

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.2.16

Combina $4$ y $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 1.2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Divide cada término en $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2.1.2

Divide ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.3.3.3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.4

Evalúa $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(1) - 1} - 3$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$4 \sqrt[3]{0} - 3$

Paso 1.4.1.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{0^{3}} - 3$

Paso 1.4.1.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$4 \cdot 0 - 3$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - 3$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(1, - 3)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 10$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 10$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(- 10) - 1} - 3$

Paso 2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1

Resta $1$ de $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{- 11} - 3$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $- 11$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 11$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$4 \sqrt[3]{- 1 (11)} - 3$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 11} - 3$

Paso 2.1.2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$4 (- 1 \sqrt[3]{11}) - 3$

Paso 2.1.2.4

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{11}$ como $- \sqrt[3]{11}$ .

$4 (- \sqrt[3]{11}) - 3$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sqrt[3]{11} - 3$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 10$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $10$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(10) - 1} - 3$

Paso 2.2.2

Resta $1$ de $10$ .

$4 \sqrt[3]{9} - 3$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3), (10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Mínimo absoluto: $(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3)$

Paso 4