Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=2x^3-27x^2+108x on 2 , 7
on ,
Paso 1
Obtén los puntos críticos.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.1.3
Evalúa .
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Paso 1.1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.1.4
Evalúa .
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Paso 1.1.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.4.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.4.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 1.2.2
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
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Paso 1.2.2.1
Factoriza de .
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Paso 1.2.2.1.1
Factoriza de .
Paso 1.2.2.1.2
Factoriza de .
Paso 1.2.2.1.3
Factoriza de .
Paso 1.2.2.1.4
Factoriza de .
Paso 1.2.2.1.5
Factoriza de .
Paso 1.2.2.2
Factoriza.
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Paso 1.2.2.2.1
Factoriza con el método AC.
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Paso 1.2.2.2.1.1
Considera la forma . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea y cuya suma sea . En este caso, cuyo producto es y cuya suma es .
Paso 1.2.2.2.1.2
Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.
Paso 1.2.2.2.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.2.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.4.1
Establece igual a .
Paso 1.2.4.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.5.1
Establece igual a .
Paso 1.2.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 1.3
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 1.3.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 1.4
Evalúa en cada valor donde la derivada sea o indefinida.
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Paso 1.4.1
Evalúa en .
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Paso 1.4.1.1
Sustituye por .
Paso 1.4.1.2
Simplifica.
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Paso 1.4.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.1.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.4
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.1.5
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 1.4.1.2.2.1
Resta de .
Paso 1.4.1.2.2.2
Suma y .
Paso 1.4.2
Evalúa en .
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Paso 1.4.2.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.2.2.1.4
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.1.5
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 1.4.2.2.2.1
Resta de .
Paso 1.4.2.2.2.2
Suma y .
Paso 1.4.3
Enumera todos los puntos.
Paso 2
Evalúa en los extremos incluidos.
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Paso 2.1
Evalúa en .
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Paso 2.1.1
Sustituye por .
Paso 2.1.2
Simplifica.
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Paso 2.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 2.1.2.1.1.1
Multiplica por .
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Paso 2.1.2.1.1.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.1.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.1.2.1.1.2
Suma y .
Paso 2.1.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.4
Multiplica por .
Paso 2.1.2.1.5
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 2.1.2.2.1
Resta de .
Paso 2.1.2.2.2
Suma y .
Paso 2.2
Evalúa en .
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Paso 2.2.1
Sustituye por .
Paso 2.2.2
Simplifica.
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Paso 2.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 2.2.2.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.2.1.4
Multiplica por .
Paso 2.2.2.1.5
Multiplica por .
Paso 2.2.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.2.2.1
Resta de .
Paso 2.2.2.2.2
Suma y .
Paso 2.3
Enumera todos los puntos.
Paso 3
Compara los valores de encontrados para cada valor de para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de .
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Paso 4