Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x + 1 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $| x + 1 |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- x - 1$ por $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.4

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.5

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.6

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Para escribir $| x + 1 |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1

Multiplica $| x + 1 | | x + 1 |$ .

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Paso 2.5.2.4.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.5

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.2.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.4.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.4.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.2

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.9

Simplifica.

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Paso 2.5.2.4.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.10

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11

Reescribe $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ en forma factorizada.

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Paso 2.5.2.4.11.1

Reagrupa los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

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Paso 2.5.2.4.11.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.3

Factoriza $- 1$ de $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

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Paso 2.5.2.4.11.3.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3.3

Reescribe $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ como $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ por $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica ${| x + 1 |}^{2}$ por $| x + 1 |$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.3.1

Multiplica ${| x + 1 |}^{2}$ por $| x + 1 |$ .

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Paso 2.5.3.3.1.1

Eleva $| x + 1 |$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Paso 2.5.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Paso 2.5.3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x + 1 = 0$

Paso 5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x + 1 | = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Paso 6.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 6.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Paso 9.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la primera derivada $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.2.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Paso 10.2.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Paso 10.2.2.3

Divide $- 3$ por $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Paso 10.2.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- 1, \infty)$ en la primera derivada $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Paso 10.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.2.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Paso 10.3.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Paso 10.3.2.3

Divide $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 10.3.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un mínimo local.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 11