Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.6.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.3.1.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.3.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.1.1.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.3.2.1

Resta $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6.3.2.2

Suma $6 t$ y $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 t = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $6 t = 0$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $6 t = 0$ por $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$t = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{0}{3}$

Paso 1.4.1.2.3

Divide $0$ por $3$ .

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en $t = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $- 1$ por $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 2.2

Evalúa en $t = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $t$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 + 3}$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Paso 3

Compara los valores de $g (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (t)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (t)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 4