Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Paso 1.1.1.2.3

Como $\frac{π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x + \frac{π}{4})$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $\sin (x + \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Paso 1.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Paso 1.2.5

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Paso 1.2.7

Resuelve $x$

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Paso 1.2.7.1

Resta $0$ de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Paso 1.2.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.7.2.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = π - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.2.3

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 1.2.7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.2.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 1.2.7.2.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.8

Obtén el período de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 1.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 1.2.9.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 1.2.9.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.9.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.9.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 1.2.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 1.2.9.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 1.2.9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 1.2.10

El período de la función $\sin (x + \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\cos (x + \frac{π}{4})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Paso 1.4.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Paso 1.4.1.2.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$\cos (π)$

Paso 1.4.1.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (0)$

Paso 1.4.1.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $7 π$ y $π$ .

$\cos (\frac{8 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1

Factoriza $4$ de $8 π$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Paso 1.4.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Paso 1.4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Paso 1.4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{2 π}{1})$

Paso 1.4.2.2.3.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$\cos (2 π)$

Paso 1.4.2.2.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (0)$

Paso 1.4.2.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Suma $0$ y $\frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Paso 3.1.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 2 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2 π$ por $x$ .

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Paso 3.2.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Paso 3.2.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

Paso 3.2.2.3.2

Suma $8 π$ y $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{4})$

Paso 3.2.2.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Paso 3.2.2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{7 π}{4}, 1)$

Mínimo absoluto: $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Paso 5