Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=3cos(x)^2 , [pi/4,pi]
,
Paso 1
Obtén los puntos críticos.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 1.1.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.1.3
Multiplica por .
Paso 1.1.1.4
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.5
Multiplica por .
Paso 1.1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 1.2.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.3
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.3.1
Establece igual a .
Paso 1.2.3.2
Resuelve en .
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Paso 1.2.3.2.1
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior del coseno.
Paso 1.2.3.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.3.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.2.3.2.3
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
Paso 1.2.3.2.4
Simplifica .
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Paso 1.2.3.2.4.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.2.3.2.4.2
Combina fracciones.
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Paso 1.2.3.2.4.2.1
Combina y .
Paso 1.2.3.2.4.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.3.2.4.3
Simplifica el numerador.
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Paso 1.2.3.2.4.3.1
Multiplica por .
Paso 1.2.3.2.4.3.2
Resta de .
Paso 1.2.3.2.5
Obtén el período de .
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Paso 1.2.3.2.5.1
El período de la función puede calcularse mediante .
Paso 1.2.3.2.5.2
Reemplaza con en la fórmula para el período.
Paso 1.2.3.2.5.3
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 1.2.3.2.5.4
Divide por .
Paso 1.2.3.2.6
El período de la función es , por lo que los valores se repetirán cada radianes en ambas direcciones.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.2.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.4.1
Establece igual a .
Paso 1.2.4.2
Resuelve en .
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Paso 1.2.4.2.1
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de seno.
Paso 1.2.4.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.4.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.2.4.2.3
La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el segundo cuadrante.
Paso 1.2.4.2.4
Resta de .
Paso 1.2.4.2.5
Obtén el período de .
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Paso 1.2.4.2.5.1
El período de la función puede calcularse mediante .
Paso 1.2.4.2.5.2
Reemplaza con en la fórmula para el período.
Paso 1.2.4.2.5.3
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 1.2.4.2.5.4
Divide por .
Paso 1.2.4.2.6
El período de la función es , por lo que los valores se repetirán cada radianes en ambas direcciones.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.2.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
, para cualquier número entero
Paso 1.2.6
Consolida las respuestas.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.3
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 1.3.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 1.4
Evalúa en cada valor donde la derivada sea o indefinida.
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Paso 1.4.1
Evalúa en .
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Paso 1.4.1.1
Sustituye por .
Paso 1.4.1.2
Simplifica.
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Paso 1.4.1.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.4.1.2.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Evalúa en .
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Paso 1.4.2.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2.2
Simplifica.
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Paso 1.4.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.4.2.2.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 1.4.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.4.3
Enumera todos los puntos.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 2
Excluye los puntos que no están en el intervalo.
Paso 3
Evalúa en los extremos incluidos.
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Paso 3.1
Evalúa en .
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Paso 3.1.1
Sustituye por .
Paso 3.1.2
Simplifica.
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Paso 3.1.2.1
El valor exacto de es .
Paso 3.1.2.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.1.2.3
Reescribe como .
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Paso 3.1.2.3.1
Usa para reescribir como .
Paso 3.1.2.3.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 3.1.2.3.3
Combina y .
Paso 3.1.2.3.4
Cancela el factor común de .
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Paso 3.1.2.3.4.1
Cancela el factor común.
Paso 3.1.2.3.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 3.1.2.3.5
Evalúa el exponente.
Paso 3.1.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 3.1.2.5
Cancela el factor común de y .
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Paso 3.1.2.5.1
Factoriza de .
Paso 3.1.2.5.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 3.1.2.5.2.1
Factoriza de .
Paso 3.1.2.5.2.2
Cancela el factor común.
Paso 3.1.2.5.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 3.1.2.6
Combina y .
Paso 3.2
Evalúa en .
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Paso 3.2.1
Sustituye por .
Paso 3.2.2
Simplifica.
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Paso 3.2.2.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 3.2.2.2
El valor exacto de es .
Paso 3.2.2.3
Multiplica por .
Paso 3.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 3.2.2.5
Multiplica por .
Paso 3.3
Enumera todos los puntos.
Paso 4
Compara los valores de encontrados para cada valor de para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de .
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Paso 5