Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo xe^(3x)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.3.1
Multiplica por .
Paso 1.3.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.5
Multiplica por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Reordena los términos.
Paso 1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.3.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.5
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.2.8
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.2.9
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.4
Multiplica por .
Paso 2.3.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2.2
Suma y .
Paso 2.4.3
Reordena los términos.
Paso 2.4.4
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.3.1
Multiplica por .
Paso 4.1.3.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 4.1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.5
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Simplifica.
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Paso 4.1.4.1
Reordena los términos.
Paso 4.1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
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Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Multiplica por .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
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Paso 5.4.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.4.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.4.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
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Paso 5.5.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.5.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.5.2.2.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 5.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.1
Cancela el factor común de .
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Paso 9.1.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 9.1.1.2
Factoriza de .
Paso 9.1.1.3
Cancela el factor común.
Paso 9.1.1.4
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.2
Multiplica por .
Paso 9.1.3
Cancela el factor común de .
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Paso 9.1.3.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 9.1.3.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.3.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.4
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.5
Combina y .
Paso 9.1.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 9.1.7
Cancela el factor común de .
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Paso 9.1.7.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 9.1.7.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.7.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.1.8
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 9.1.9
Combina y .
Paso 9.2
Combina fracciones.
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Paso 9.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 9.2.2
Suma y .
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 11.2.1.2
Cancela el factor común.
Paso 11.2.1.3
Reescribe la expresión.
Paso 11.2.2
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 11.2.3
Multiplica por .
Paso 11.2.4
Mueve a la izquierda de .
Paso 11.2.5
La respuesta final es .
Paso 12
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
Paso 13