Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ , $x > 0$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 1.2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 1 = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 1$

Paso 1.2.4.2

Divide cada término en $2 x^{3} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{3} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 1.2.4.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 1.2.4.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 1.2.4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 1.2.4.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 1.2.4.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 1.2.4.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 1.2.4.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 1.2.4.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 1.2.4.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.2.4.4.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.2.4.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 1.2.4.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 1.2.4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 1.2.4.4.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $x^{2} + \frac{1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{16}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.2.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.2.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.2.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.4.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 1 \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 1.4.1.2.1.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 1.4.1.2.1.7

Multiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.1.8.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 1.4.1.2.1.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.8.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 1.4.1.2.1.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.4.1.2.1.9.1

Factoriza $2$ de $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Paso 1.4.1.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.10.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.10.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.10.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.10.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.10.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.10.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.11.2

Divide $\sqrt[3]{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2}$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $\sqrt[3]{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1.2.3.1

Combina $\sqrt[3]{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt[3]{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} + 2 \cdot \sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Suma $\sqrt[3]{2}$ y $2 \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{1}{0}$

Paso 1.4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) \cup (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2})$ en la primera derivada $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 - 1}{4}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $1$ de $- 16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 17}{4}$

Paso 2.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{17}{4}$

Paso 2.2.2.7

La respuesta final es $- \frac{17}{4}$ .

$- \frac{17}{4}$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$ en la primera derivada $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 2 (3) - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{9}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = 6 \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

Paso 2.3.2.3

Combina $6$ y $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9}{9} - \frac{1}{9}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9 - 1}{9}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $6$ por $9$ .

$f' (3) = \frac{54 - 1}{9}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $1$ de $54$ .

$f' (3) = \frac{53}{9}$

Paso 2.3.2.6

La respuesta final es $\frac{53}{9}$ .

$\frac{53}{9}$

Paso 2.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ , $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ es un mínimo local.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ es un mínimo local

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Paso 4