Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(x - 10)}^{2}$ ; $[0, 10]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 10) (x - 10))]$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x - 10) (x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 10) - 10 (x - 10))]$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10))]$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Paso 1.1.1.3.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 10$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100)]$

Paso 1.1.1.3.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 20 x + 100)]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 20 x + 100$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 20 x + 100] + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 20 x + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.3

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.5

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x (2 x - 20 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.6

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (2 x - 20 + 0) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.7

Suma $2 x - 20$ y $0$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \cdot 1$

Paso 1.1.1.5.9

Multiplica $x^{2} - 20 x + 100$ por $1$ .

$x (2 x - 20) + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.5

Mueve $- 20$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 20 \cdot x + x^{2} - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x - 20 x + 100$

Paso 1.1.1.6.2.7

Resta $20 x$ de $- 20 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 40 x + 100$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ y cuya suma es $b = - 40$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $- 40$ de $- 40 x$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe $- 40$ como $- 10$ más $- 30$

$3 x^{2} + (- 10 - 30) x + 100 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 10 x - 30 x + 100 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 10 x) - 30 x + 100 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 10) - 10 (3 x - 10) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 10$ .

$(3 x - 10) (x - 10) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $3 x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $3 x - 10$ igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $3 x - 10 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 10$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 10$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Paso 1.2.5

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 10) (x - 10) = 0$ verdadera.

$x = \frac{10}{3}, 10$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x {(x - 10)}^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{10}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{10}{3}$ por $x$ .

$(\frac{10}{3}) {((\frac{10}{3}) - 10)}^{2}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.2

Combina $- 10$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 30}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Resta $30$ de $10$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{- 20}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{10}{3} {(- \frac{20}{3})}^{2}$

Paso 1.4.1.2.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{20}{3})}^{2})$

Paso 1.4.1.2.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Paso 1.4.1.2.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.7.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10}{3} (1 \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $\frac{20^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{20^{2}}{3^{2}}$

Paso 1.4.1.2.8

Combinar.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.9.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.9.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Paso 1.4.1.2.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1 + 2}}$

Paso 1.4.1.2.9.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{3}}$

Paso 1.4.1.2.10

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$\frac{10 \cdot 400}{3^{3}}$

Paso 1.4.1.2.11

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{10 \cdot 400}{27}$

Paso 1.4.1.2.12

Multiplica $10$ por $400$ .

$\frac{4000}{27}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $10$ por $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Resta $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$10 \cdot 0$

Paso 1.4.2.2.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$0$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27}), (10, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) {((0) - 10)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Resta $10$ de $0$ .

$0 {(- 10)}^{2}$

Paso 2.1.2.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$0 \cdot 100$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $0$ por $100$ .

$0$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sustituye $10$ por $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Resta $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Paso 2.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$10 \cdot 0$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$0$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (10, 0)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27})$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (10, 0)$

Paso 4