Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=(4x)/(x^2+1)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.2
Multiplica por .
Paso 1.3.3
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.6
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.6.1
Suma y .
Paso 1.3.6.2
Multiplica por .
Paso 1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7
Suma y .
Paso 1.8
Resta de .
Paso 1.9
Combina y .
Paso 1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.10.2
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.2.1
Multiplica por .
Paso 1.10.2.2
Multiplica por .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 2.2
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 2.2.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.5
Multiplica por .
Paso 2.2.6
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.7
Suma y .
Paso 2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.4
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.4.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4.5
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.4.5.1
Suma y .
Paso 2.4.5.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.4.5.3
Multiplica por .
Paso 2.5
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.5.3.1.2
Reescribe como .
Paso 2.5.3.1.3
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.3.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.3.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.3.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.4
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.4.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.4.1.1.1
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.4.1.1.2
Suma y .
Paso 2.5.3.1.4.1.2
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.4.1.3
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.4.1.4
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.4.2
Suma y .
Paso 2.5.3.1.5
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.6
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.6.1
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.6.2
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.7
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.8
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.8.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.8.1.1
Mueve .
Paso 2.5.3.1.8.1.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.8.1.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.5.3.1.8.1.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.8.1.3
Suma y .
Paso 2.5.3.1.8.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.8.2.1
Mueve .
Paso 2.5.3.1.8.2.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.8.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.5.3.1.8.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.8.2.3
Suma y .
Paso 2.5.3.1.9
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.9.1
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.9.2
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.10
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.10.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.10.1.1
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.10.1.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.5.3.1.10.1.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.10.1.2
Suma y .
Paso 2.5.3.1.10.2
Multiplica por .
Paso 2.5.3.1.11
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.11.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.11.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.11.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.5.3.1.12
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.12.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.12.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.12.1.1.1
Mueve .
Paso 2.5.3.1.12.1.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.12.1.1.3
Suma y .
Paso 2.5.3.1.12.1.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.12.1.2.1
Mueve .
Paso 2.5.3.1.12.1.2.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.5.3.1.12.1.2.3
Suma y .
Paso 2.5.3.1.12.2
Resta de .
Paso 2.5.3.1.12.3
Suma y .
Paso 2.5.3.2
Suma y .
Paso 2.5.3.3
Resta de .
Paso 2.5.4
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.4.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.4.1.1
Factoriza de .
Paso 2.5.4.1.2
Factoriza de .
Paso 2.5.4.1.3
Factoriza de .
Paso 2.5.4.1.4
Factoriza de .
Paso 2.5.4.1.5
Factoriza de .
Paso 2.5.4.2
Reescribe como .
Paso 2.5.4.3
Sea . Sustituye por todos los casos de .
Paso 2.5.4.4
Factoriza con el método AC.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.4.4.1
Considera la forma . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea y cuya suma sea . En este caso, cuyo producto es y cuya suma es .
Paso 2.5.4.4.2
Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.
Paso 2.5.4.5
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.5.5
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.5.1
Factoriza de .
Paso 2.5.5.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.5.2.1
Factoriza de .
Paso 2.5.5.2.2
Cancela el factor común.
Paso 2.5.5.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.2
Multiplica por .
Paso 4.1.3.3
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.6
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.6.1
Suma y .
Paso 4.1.3.6.2
Multiplica por .
Paso 4.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.1.7
Suma y .
Paso 4.1.8
Resta de .
Paso 4.1.9
Combina y .
Paso 4.1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.10.2
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.2.1
Multiplica por .
Paso 4.1.10.2.2
Multiplica por .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 5.3
Resuelve la ecuación en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.3.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 5.3.2.2.1.2
Divide por .
Paso 5.3.2.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.3.1
Divide por .
Paso 5.3.3
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 5.3.4
Cualquier raíz de es .
Paso 5.3.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.3.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.3.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1
Multiplica por .
Paso 9.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.2.2
Suma y .
Paso 9.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 9.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.3.2
Resta de .
Paso 9.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.4.1
Multiplica por .
Paso 9.4.2
Divide por .
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Multiplica por .
Paso 11.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.2.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 11.2.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
Divide por .
Paso 11.2.4
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1
Multiplica por .
Paso 13.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.2.2
Suma y .
Paso 13.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 13.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.3.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.3.2
Resta de .
Paso 13.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.4.1
Multiplica por .
Paso 13.4.2
Divide por .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Multiplica por .
Paso 15.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.2.2
Suma y .
Paso 15.2.3
Divide por .
Paso 15.2.4
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17