Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo x^3e^x
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.4
Simplifica.
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Paso 1.4.1
Reordena los términos.
Paso 1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
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Paso 2.2.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3
Evalúa .
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Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.4
Simplifica.
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Paso 2.4.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.4.2
Combina los términos.
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Paso 2.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.4.2.2
Suma y .
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Paso 2.4.2.2.1
Mueve .
Paso 2.4.2.2.2
Suma y .
Paso 2.4.3
Reordena los términos.
Paso 2.4.4
Reordena los factores en .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 4.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.4
Simplifica.
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Paso 4.1.4.1
Reordena los términos.
Paso 4.1.4.2
Reordena los factores en .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Factoriza de .
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Paso 5.2.1
Factoriza de .
Paso 5.2.2
Factoriza de .
Paso 5.2.3
Factoriza de .
Paso 5.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.4.1
Establece igual a .
Paso 5.4.2
Resuelve en .
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Paso 5.4.2.1
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 5.4.2.2
Simplifica .
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Paso 5.4.2.2.1
Reescribe como .
Paso 5.4.2.2.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 5.4.2.2.3
Más o menos es .
Paso 5.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.5.1
Establece igual a .
Paso 5.5.2
Resuelve en .
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Paso 5.5.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 5.5.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 5.5.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 5.6
Establece igual a y resuelve .
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Paso 5.6.1
Establece igual a .
Paso 5.6.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.7
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Simplifica cada término.
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Paso 9.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.2
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.3
Multiplica por .
Paso 9.1.4
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.1.5
Multiplica por .
Paso 9.1.6
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.7
Multiplica por .
Paso 9.1.8
Multiplica por .
Paso 9.1.9
Cualquier valor elevado a es .
Paso 9.1.10
Multiplica por .
Paso 9.2
Simplifica mediante la adición de números.
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Paso 9.2.1
Suma y .
Paso 9.2.2
Suma y .
Paso 10
Como hay al menos un punto con o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.
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Paso 10.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 10.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 10.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.2.2
Simplifica el resultado.
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Paso 10.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 10.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 10.2.2.1.2
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 10.2.2.1.3
Combina y .
Paso 10.2.2.1.4
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10.2.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 10.2.2.1.6
Multiplica por .
Paso 10.2.2.1.7
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 10.2.2.1.8
Combina y .
Paso 10.2.2.2
Combina fracciones.
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Paso 10.2.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 10.2.2.2.2
Simplifica la expresión.
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Paso 10.2.2.2.2.1
Suma y .
Paso 10.2.2.2.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10.2.2.3
La respuesta final es .
Paso 10.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 10.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.3.2
Simplifica el resultado.
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Paso 10.3.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 10.3.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 10.3.2.1.2
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 10.3.2.1.3
Combina y .
Paso 10.3.2.1.4
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10.3.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 10.3.2.1.6
Multiplica por .
Paso 10.3.2.1.7
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 10.3.2.1.8
Combina y .
Paso 10.3.2.2
Combina fracciones.
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Paso 10.3.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 10.3.2.2.2
Suma y .
Paso 10.3.2.3
La respuesta final es .
Paso 10.4
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 10.4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 10.4.2
Simplifica el resultado.
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Paso 10.4.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 10.4.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 10.4.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 10.4.2.1.3
Multiplica por .
Paso 10.4.2.2
Suma y .
Paso 10.4.2.3
La respuesta final es .
Paso 10.5
Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de , es un mínimo local.
es un mínimo local
Paso 10.6
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 10.7
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 11