Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=x^3-3x^2+1 , [-1/2,4]
,
Paso 1
Obtén los puntos críticos.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Diferencia.
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Paso 1.1.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.1.3
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 1.1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.2
Suma y .
Paso 1.1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 1.2.2
Factoriza de .
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Paso 1.2.2.1
Factoriza de .
Paso 1.2.2.2
Factoriza de .
Paso 1.2.2.3
Factoriza de .
Paso 1.2.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.4
Establece igual a .
Paso 1.2.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 1.2.5.1
Establece igual a .
Paso 1.2.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 1.3
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 1.3.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 1.4
Evalúa en cada valor donde la derivada sea o indefinida.
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Paso 1.4.1
Evalúa en .
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Paso 1.4.1.1
Sustituye por .
Paso 1.4.1.2
Simplifica.
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Paso 1.4.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.1.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 1.4.1.2.1.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 1.4.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Simplifica mediante la adición de números.
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Paso 1.4.1.2.2.1
Suma y .
Paso 1.4.1.2.2.2
Suma y .
Paso 1.4.2
Evalúa en .
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Paso 1.4.2.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2.2
Simplifica.
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Paso 1.4.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.2.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.4.2.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 1.4.2.2.2.1
Resta de .
Paso 1.4.2.2.2.2
Suma y .
Paso 1.4.3
Enumera todos los puntos.
Paso 2
Evalúa en los extremos incluidos.
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Paso 2.1
Evalúa en .
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Paso 2.1.1
Sustituye por .
Paso 2.1.2
Simplifica.
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Paso 2.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 2.1.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.1.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.1.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 2.1.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.5
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 2.1.2.1.5.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.1.2.1.5.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 2.1.2.1.6
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 2.1.2.1.8
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 2.1.2.1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 2.1.2.1.10
Combina y .
Paso 2.1.2.1.11
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.1.2.2
Obtén el denominador común
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Paso 2.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2.3
Escribe como una fracción con el denominador .
Paso 2.1.2.2.4
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2.5
Multiplica por .
Paso 2.1.2.2.6
Reordena los factores de .
Paso 2.1.2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.1.2.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 2.1.2.4
Simplifica la expresión.
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Paso 2.1.2.4.1
Multiplica por .
Paso 2.1.2.4.2
Resta de .
Paso 2.1.2.4.3
Suma y .
Paso 2.2
Evalúa en .
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Paso 2.2.1
Sustituye por .
Paso 2.2.2
Simplifica.
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Paso 2.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 2.2.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 2.2.2.2.1
Resta de .
Paso 2.2.2.2.2
Suma y .
Paso 2.3
Enumera todos los puntos.
Paso 3
Compara los valores de encontrados para cada valor de para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de .
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Paso 4