Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo g(x)=(x^2+4)/(4x)
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.3.4
Suma y .
Paso 1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7
Suma y .
Paso 1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.9
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.9.1
Multiplica por .
Paso 1.9.2
Multiplica por .
Paso 1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.10.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.2.1
Multiplica por .
Paso 1.10.2.2
Resta de .
Paso 1.10.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.10.3.1
Reescribe como .
Paso 1.10.3.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 2.3
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.3.2
Multiplica por .
Paso 2.4
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.5
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.5.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.4.1
Suma y .
Paso 2.5.4.2
Multiplica por .
Paso 2.5.5
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.6
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.5.7
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.5.8
Simplifica mediante la adición de términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.8.1
Suma y .
Paso 2.5.8.2
Multiplica por .
Paso 2.5.8.3
Suma y .
Paso 2.5.8.4
Simplifica mediante la resta de números.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.5.8.4.1
Resta de .
Paso 2.5.8.4.2
Suma y .
Paso 2.6
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.6.1
Mueve .
Paso 2.6.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.6.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.6.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.6.3
Suma y .
Paso 2.7
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.9
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.9.1
Multiplica por .
Paso 2.9.2
Multiplica por .
Paso 2.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.10.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.1
Multiplica por .
Paso 2.10.2.1.2
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.2.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.10.2.1.2.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.10.2.1.2.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.10.2.1.3
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.3.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.3.1.1.1
Mueve .
Paso 2.10.2.1.3.1.1.2
Multiplica por .
Paso 2.10.2.1.3.1.2
Multiplica por .
Paso 2.10.2.1.3.1.3
Multiplica por .
Paso 2.10.2.1.3.2
Resta de .
Paso 2.10.2.1.3.3
Suma y .
Paso 2.10.2.1.4
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.10.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.5.1
Mueve .
Paso 2.10.2.1.5.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.2.1.5.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 2.10.2.1.5.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.10.2.1.5.3
Suma y .
Paso 2.10.2.2
Resta de .
Paso 2.10.2.3
Suma y .
Paso 2.10.3
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.3.1
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.3.1.1
Factoriza de .
Paso 2.10.3.1.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.3.1.2.1
Factoriza de .
Paso 2.10.3.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 2.10.3.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 2.10.3.2
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.3.2.1
Factoriza de .
Paso 2.10.3.2.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.10.3.2.2.1
Factoriza de .
Paso 2.10.3.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 2.10.3.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 4.1.3
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.3.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.3.4
Suma y .
Paso 4.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 4.1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.1.7
Suma y .
Paso 4.1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.9
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.9.1
Multiplica por .
Paso 4.1.9.2
Multiplica por .
Paso 4.1.10
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.1.10.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.2.1
Multiplica por .
Paso 4.1.10.2.2
Resta de .
Paso 4.1.10.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1.10.3.1
Reescribe como .
Paso 4.1.10.3.2
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 5.3
Resuelve la ecuación en .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 5.3.2
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.1
Establece igual a .
Paso 5.3.2.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.3.1
Establece igual a .
Paso 5.3.3.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 6.2
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.1
Divide cada término en por .
Paso 6.2.1.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.2.1.2.1.2
Divide por .
Paso 6.2.1.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.3.1
Divide por .
Paso 6.2.2
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 6.2.3
Simplifica .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.3.1
Reescribe como .
Paso 6.2.3.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 6.2.3.3
Más o menos es .
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.1
Reescribe como .
Paso 9.1.2
Factoriza de .
Paso 9.1.3
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1.3.1
Factoriza de .
Paso 9.1.3.2
Cancela el factor común.
Paso 9.1.3.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 9.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 11.2.1.2
Suma y .
Paso 11.2.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 11.2.2.1
Multiplica por .
Paso 11.2.2.2
Divide por .
Paso 11.2.3
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.1
Factoriza de .
Paso 13.1.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 13.1.2.1
Factoriza de .
Paso 13.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 13.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 13.2
Eleva a la potencia de .
Paso 14
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
Toca para ver más pasos...
Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 15.2.1.2
Suma y .
Paso 15.2.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 15.2.2.1
Multiplica por .
Paso 15.2.2.2
Divide por .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 17