Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=x^2+320/x ; (0,infinity)
;
Paso 1
Obtén los puntos críticos.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.1
Diferencia.
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Paso 1.1.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2.2
Reescribe como .
Paso 1.1.1.2.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.1.1.3
Simplifica.
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Paso 1.1.1.3.1
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.1.3.2
Combina los términos.
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Paso 1.1.1.3.2.1
Combina y .
Paso 1.1.1.3.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 1.2.2
Obtén el mcd de los términos en la ecuación.
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Paso 1.2.2.1
La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.
Paso 1.2.2.2
El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.
Paso 1.2.3
Multiplica cada término en por para eliminar las fracciones.
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Paso 1.2.3.1
Multiplica cada término en por .
Paso 1.2.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.2.3.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.2.3.2.1.1
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 1.2.3.2.1.1.1
Mueve .
Paso 1.2.3.2.1.1.2
Multiplica por .
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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.3.2.1.1.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.2.3.2.1.1.3
Suma y .
Paso 1.2.3.2.1.2
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.3.2.1.2.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 1.2.3.2.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.2.3.2.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.3.3.1
Multiplica por .
Paso 1.2.4
Resuelve la ecuación.
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Paso 1.2.4.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.4.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.4.3
Factoriza de .
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Paso 1.2.4.3.1
Factoriza de .
Paso 1.2.4.3.2
Factoriza de .
Paso 1.2.4.3.3
Factoriza de .
Paso 1.2.4.4
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 1.2.4.4.1
Divide cada término en por .
Paso 1.2.4.4.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.2.4.4.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.4.4.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.4.4.2.1.2
Divide por .
Paso 1.2.4.4.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.4.3.1
Divide por .
Paso 1.2.4.5
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.4.6
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 1.2.4.7
Simplifica .
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Paso 1.2.4.7.1
Reescribe como .
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Paso 1.2.4.7.1.1
Factoriza de .
Paso 1.2.4.7.1.2
Reescribe como .
Paso 1.2.4.7.2
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 1.3
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 1.3.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 1.3.2
Resuelve
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Paso 1.3.2.1
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 1.3.2.2
Simplifica .
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Paso 1.3.2.2.1
Reescribe como .
Paso 1.3.2.2.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 1.3.2.2.3
Más o menos es .
Paso 1.4
Evalúa en cada valor donde la derivada sea o indefinida.
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Paso 1.4.1
Evalúa en .
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Paso 1.4.1.1
Sustituye por .
Paso 1.4.1.2
Simplifica.
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Paso 1.4.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 1.4.1.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 1.4.1.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.3
Reescribe como .
Paso 1.4.1.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.5
Reescribe como .
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Paso 1.4.1.2.1.5.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.5.2
Reescribe como .
Paso 1.4.1.2.1.6
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 1.4.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.1.8
Cancela el factor común de y .
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Paso 1.4.1.2.1.8.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.8.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 1.4.1.2.1.8.2.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.8.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.4.1.2.1.8.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.4.1.2.1.9
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.1.10
Combina y simplifica el denominador.
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Paso 1.4.1.2.1.10.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.1.10.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.10.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.4.1.2.1.10.4
Suma y .
Paso 1.4.1.2.1.10.5
Reescribe como .
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Paso 1.4.1.2.1.10.5.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.4.1.2.1.10.5.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.4.1.2.1.10.5.3
Combina y .
Paso 1.4.1.2.1.10.5.4
Cancela el factor común de .
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Paso 1.4.1.2.1.10.5.4.1
Cancela el factor común.
Paso 1.4.1.2.1.10.5.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.4.1.2.1.10.5.5
Evalúa el exponente.
Paso 1.4.1.2.1.11
Cancela el factor común de y .
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Paso 1.4.1.2.1.11.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.11.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1.11.2.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.11.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.4.1.2.1.11.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.4.1.2.1.11.2.4
Divide por .
Paso 1.4.1.2.1.12
Reescribe como .
Paso 1.4.1.2.1.13
Eleva a la potencia de .
Paso 1.4.1.2.1.14
Reescribe como .
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Paso 1.4.1.2.1.14.1
Factoriza de .
Paso 1.4.1.2.1.14.2
Reescribe como .
Paso 1.4.1.2.1.15
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 1.4.1.2.1.16
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Suma y .
Paso 1.4.2
Evalúa en .
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Paso 1.4.2.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2.2
La expresión contiene una división por . La expresión es indefinida.
Indefinida
Indefinida
Paso 1.4.3
Enumera todos los puntos.
Paso 2
Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.
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Paso 2.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 2.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 2.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 2.2.2
Simplifica el resultado.
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Paso 2.2.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 2.2.2.1.1
Multiplica por .
Paso 2.2.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.2.1.3
Divide por .
Paso 2.2.2.1.4
Multiplica por .
Paso 2.2.2.2
Resta de .
Paso 2.2.2.3
La respuesta final es .
Paso 2.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
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Paso 2.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 2.3.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.2.1.1
Multiplica por .
Paso 2.3.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 2.3.2.1.3
Divide por .
Paso 2.3.2.1.4
Multiplica por .
Paso 2.3.2.2
Resta de .
Paso 2.3.2.3
La respuesta final es .
Paso 2.4
Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de , es un mínimo local.
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 3
Compara los valores de encontrados para cada valor de para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de .
Sin máximo absoluto
Mínimo absoluto:
Paso 4