Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=5cos(x)^2 on [0,pi]
on
Paso 1
Obtén los puntos críticos.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.1.3
Multiplica por .
Paso 1.1.1.4
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.5
Multiplica por .
Paso 1.1.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 1.2.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.2.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1
Establece igual a .
Paso 1.2.3.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.1
Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior del coseno.
Paso 1.2.3.2.2
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.2.3.2.3
La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
Paso 1.2.3.2.4
Simplifica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.4.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.2.3.2.4.2
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.4.2.1
Combina y .
Paso 1.2.3.2.4.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.3.2.4.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.4.3.1
Multiplica por .
Paso 1.2.3.2.4.3.2
Resta de .
Paso 1.2.3.2.5
Obtén el período de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.2.5.1
El período de la función puede calcularse mediante .
Paso 1.2.3.2.5.2
Reemplaza con en la fórmula para el período.
Paso 1.2.3.2.5.3
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 1.2.3.2.5.4
Divide por .
Paso 1.2.3.2.6
El período de la función es , por lo que los valores se repetirán cada radianes en ambas direcciones.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.2.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.1
Establece igual a .
Paso 1.2.4.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.2.1
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de seno.
Paso 1.2.4.2.2
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.2.4.2.3
La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el segundo cuadrante.
Paso 1.2.4.2.4
Resta de .
Paso 1.2.4.2.5
Obtén el período de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.2.5.1
El período de la función puede calcularse mediante .
Paso 1.2.4.2.5.2
Reemplaza con en la fórmula para el período.
Paso 1.2.4.2.5.3
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 1.2.4.2.5.4
Divide por .
Paso 1.2.4.2.6
El período de la función es , por lo que los valores se repetirán cada radianes en ambas direcciones.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.2.5
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
, para cualquier número entero
Paso 1.2.6
Consolida las respuestas.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 1.3
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 1.4
Evalúa en cada valor donde la derivada sea o indefinida.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Evalúa en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Sustituye por .
Paso 1.4.1.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.4.1.2.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Evalúa en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.1
Sustituye por .
Paso 1.4.2.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.2.2.1
El valor exacto de es .
Paso 1.4.2.2.2
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 1.4.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.4.3
Enumera todos los puntos.
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
, para cualquier número entero
Paso 2
Excluye los puntos que no están en el intervalo.
Paso 3
Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Divide en intervalos separados alrededor de los valores de que hacen que la primera derivada sea o indefinida.
Paso 3.2
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.2.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.2.1
Evalúa .
Paso 3.2.2.2
Multiplica por .
Paso 3.2.2.3
Evalúa .
Paso 3.2.2.4
Multiplica por .
Paso 3.2.2.5
La respuesta final es .
Paso 3.3
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.3.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Evalúa .
Paso 3.3.2.2
Multiplica por .
Paso 3.3.2.3
Evalúa .
Paso 3.3.2.4
Multiplica por .
Paso 3.3.2.5
La respuesta final es .
Paso 3.4
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.4.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.4.2.1
Evalúa .
Paso 3.4.2.2
Multiplica por .
Paso 3.4.2.3
Evalúa .
Paso 3.4.2.4
Multiplica por .
Paso 3.4.2.5
La respuesta final es .
Paso 3.5
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la primera derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.5.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.5.2.1
Evalúa .
Paso 3.5.2.2
Multiplica por .
Paso 3.5.2.3
Evalúa .
Paso 3.5.2.4
Multiplica por .
Paso 3.5.2.5
La respuesta final es .
Paso 3.6
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 3.7
Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de , es un mínimo local.
es un mínimo local
Paso 3.8
Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de , no es un máximo local ni un mínimo local.
No es un máximo local ni un mínimo local
Paso 3.9
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un mínimo local
Paso 4
Compara los valores de encontrados para cada valor de para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de .
Sin máximo absoluto
Mínimo absoluto:
Paso 5