Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.4.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1.6.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.2

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.3.3

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.4

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ y ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.5.5.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 5.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 5.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Paso 9.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 (1 - 3)}{8}$

Paso 9.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{8}$

Paso 9.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4}{8}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Paso 9.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 9.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 9.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2}$

Paso 9.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 10

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Paso 11.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Paso 13.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Paso 13.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Paso 13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

Paso 13.3.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

Paso 13.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{8}$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 14

$x = - 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Paso 15.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Paso 15.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, \frac{1}{2})$ es un máximo local

$(- 1, - \frac{1}{2})$ es un mínimo local

Paso 17