Cálculo Ejemplos

$g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7.3

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.1.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 1.1.1.13

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 1.1.1.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.1.1.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.14

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 1.3.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.3.3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.3.3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.3.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.3.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.3.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3.4

Establece el radicando en $\sqrt{1 - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x^{2} < 0$

Paso 1.3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 1$

Paso 1.3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Paso 1.3.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Paso 1.3.5.4

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Paso 1.3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.4.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | > 1$

Paso 1.3.5.5

Escribe $| x | > 1$ como una función definida por partes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.3.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 1$

Paso 1.3.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.3.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 1$

Paso 1.3.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.3.5.6

Obtén la intersección de $x > 1$ y $x \geq 0$ .

$x > 1$

Paso 1.3.5.7

Divide cada término en $- x > 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.7.1

Divide cada término de $- x > 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.7.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x < - 1$

Paso 1.3.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 1$ o $x > 1$

Paso 1.3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Paso 1.4

Evalúa $\sqrt{1 - x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Paso 1.4.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{1}$

Paso 1.4.1.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.4.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 1.4.2.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.2.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 1.4.2.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 1.4.3.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.3.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 1.4.3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 1), (1, 0)$

Paso 3

Compara los valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 1)$

Mínimo absoluto: $(1, 0)$

Paso 4