Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} = 1$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 1.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Paso 1.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 1 x$

Paso 1.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = x$

Paso 1.2.5

Reescribe la ecuación como $x = 1$ .

$x = 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $\ln (x) - x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 - (1)$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Paso 1.4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - 1)$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 1)$ en la primera derivada $\frac{1}{x} - 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Paso 2.2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Paso 2.2.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $\frac{1}{x} - 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Paso 2.3.2.4.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Paso 2.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 2.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 1$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 2.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = \ln (x) - x$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Sin mínimo absoluto

Paso 4