Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=cos(x)
Paso 1
La derivada de con respecto a es .
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
La derivada de con respecto a es .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 4.1
Divide cada término en por .
Paso 4.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 4.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 4.2.2
Divide por .
Paso 4.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 4.3.1
Divide por .
Paso 5
Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de seno.
Paso 6
Simplifica el lado derecho.
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Paso 6.1
El valor exacto de es .
Paso 7
La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el segundo cuadrante.
Paso 8
Resta de .
Paso 9
La solución a la ecuación .
Paso 10
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 11
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 11.1
El valor exacto de es .
Paso 11.2
Multiplica por .
Paso 12
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 13
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 13.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 13.2
Simplifica el resultado.
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Paso 13.2.1
El valor exacto de es .
Paso 13.2.2
La respuesta final es .
Paso 14
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 15
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 15.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 15.2
El valor exacto de es .
Paso 15.3
Multiplica .
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Paso 15.3.1
Multiplica por .
Paso 15.3.2
Multiplica por .
Paso 16
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 17
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 17.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 17.2
Simplifica el resultado.
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Paso 17.2.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 17.2.2
El valor exacto de es .
Paso 17.2.3
Multiplica por .
Paso 17.2.4
La respuesta final es .
Paso 18
Estos son los extremos locales de .
es un máximo local
es un mínimo local
Paso 19