Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x |$

Paso 1

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $| x |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.4

Combina $\frac{x}{| x |}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.2.1

Para escribir $| x |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.2.3.1

Multiplica $| x | | x |$ .

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Paso 2.9.2.3.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.3.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.2.4

Divide $0$ por $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Paso 2.9.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Paso 2.9.4

Divide $0$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 5.3

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x}{| x |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x}{| x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$0$

Paso 9

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 9.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 9.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{x}{| x |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 9.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Paso 9.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Paso 9.2.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Paso 9.2.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 9.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{x}{| x |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 9.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Paso 9.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.3.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Paso 9.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$f' (2) = 1$

Paso 9.3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 9.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 10