Cálculo Ejemplos

Hallar el máximo y mínimo absoluto del intervalo f(x)=x+1/x
Paso 1
Obtén la primera derivada de la función.
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Paso 1.1
Diferencia.
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Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2
Evalúa .
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Paso 1.2.1
Reescribe como .
Paso 1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.3
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.4
Reordena los términos.
Paso 2
Obtén la segunda derivada de la función.
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Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
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Paso 2.2.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 2.2.2
Reescribe como .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 2.2.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.6
Multiplica los exponentes en .
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Paso 2.2.6.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 2.2.6.2
Multiplica por .
Paso 2.2.7
Multiplica por .
Paso 2.2.8
Eleva a la potencia de .
Paso 2.2.9
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 2.2.10
Resta de .
Paso 2.2.11
Multiplica por .
Paso 2.2.12
Multiplica por .
Paso 2.2.13
Suma y .
Paso 2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.4
Simplifica.
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Paso 2.4.1
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 2.4.2
Combina los términos.
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Paso 2.4.2.1
Combina y .
Paso 2.4.2.2
Suma y .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 4.1.1
Diferencia.
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Paso 4.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 4.1.1.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.2
Evalúa .
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Paso 4.1.2.1
Reescribe como .
Paso 4.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 4.1.3
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 4.1.4
Reordena los términos.
Paso 4.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 5
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 5.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 5.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 5.3
Obtén el mcd de los términos en la ecuación.
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Paso 5.3.1
La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.
Paso 5.3.2
El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.
Paso 5.4
Multiplica cada término en por para eliminar las fracciones.
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Paso 5.4.1
Multiplica cada término en por .
Paso 5.4.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.4.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 5.4.2.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 5.4.2.1.2
Cancela el factor común.
Paso 5.4.2.1.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.5
Resuelve la ecuación.
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Paso 5.5.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 5.5.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 5.5.2.1
Divide cada término en por .
Paso 5.5.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 5.5.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 5.5.2.2.2
Divide por .
Paso 5.5.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 5.5.2.3.1
Divide por .
Paso 5.5.3
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 5.5.4
Cualquier raíz de es .
Paso 5.5.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
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Paso 5.5.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 5.5.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 5.5.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 6
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 6.1
Establece el denominador en igual que para obtener el lugar donde no está definida la expresión.
Paso 6.2
Resuelve
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Paso 6.2.1
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 6.2.2
Simplifica .
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Paso 6.2.2.1
Reescribe como .
Paso 6.2.2.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 6.2.2.3
Más o menos es .
Paso 7
Puntos críticos para evaluar.
Paso 8
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 9.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.2
Divide por .
Paso 10
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 11
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 11.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 11.2
Simplifica el resultado.
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Paso 11.2.1
Divide por .
Paso 11.2.2
Suma y .
Paso 11.2.3
La respuesta final es .
Paso 12
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 13
Evalúa la segunda derivada.
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Paso 13.1
Eleva a la potencia de .
Paso 13.2
Divide por .
Paso 14
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 15
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 15.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 15.2
Simplifica el resultado.
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Paso 15.2.1
Divide por .
Paso 15.2.2
Resta de .
Paso 15.2.3
La respuesta final es .
Paso 16
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un máximo local
Paso 17