Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = - 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Resta $3$ de $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Resta $5$ de $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Paso 1.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.2.1

Divide $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 8$ y un punto dado $(4, - 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 8 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Paso 2.3.2.2

Resta $7$ de $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Paso 3