Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + x + 1$ ; $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 2 {(1)}^{2} + 1 + 1$

Paso 1.2.4

Simplifica $2 {(1)}^{2} + 1 + 1$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 2 \cdot 1 + 1 + 1$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 + 1 + 1$

Paso 1.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.2.4.2.1

Suma $2$ y $1$ .

$y = 3 + 1$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$y = 4$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 1 + 0$

Paso 2.3.3

Suma $4 x + 1$ y $0$ .

$4 x + 1$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$4 (1) + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$5$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(1, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 5 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $5 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = 5 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y - 4 = 5 x - 5$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x - 5 + 4$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 5$ y $4$ .

$y = 5 x - 1$

Paso 4