Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3}$ , $x = 3$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 3$ .

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Paso 1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{3}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3^{3}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(3)}^{3}$

Paso 1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = 27$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 27$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.2

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{1 + 2}$

Paso 2.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$3^{3}$

Paso 2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $27$ y un punto dado $(3, 27)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = 27 \cdot (x - (3))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $27 \cdot (x - 3)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 27 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 3)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 27 = 27 x + 27 \cdot - 3$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $27$ por $- 3$ .

$y - 27 = 27 x - 81$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 27 x - 81 + 27$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 81$ y $27$ .

$y = 27 x - 54$

Paso 4