Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (e^{x} (- \sin (x))) + 6 (\cos (x) e^{x})$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 e^{x} \sin (x) + 6 \cos (x) e^{x}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$- 6 e^{x} \sin (x) + 6 e^{x} \cos (x)$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- 6 e^{0} \sin (0) + 6 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 6 \cdot 1 \sin (0) + 6 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 \sin (0) + 6 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 6 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$0 + 6 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 6 \cdot 1 \cos (0)$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 + 6 \cos (0)$

Paso 1.7.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 6 \cdot 1$

Paso 1.7.1.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 + 6$

Paso 1.7.2

Suma $0$ y $6$ .

$6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(0, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 6 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = 6 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 6 = 6 x$

Paso 2.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6 x + 6$

Paso 3