Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = \frac{1}{27}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $3$ y ${(3)}^{4}$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Paso 1.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1.2.1

Factoriza $3$ de ${(3)}^{4}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Paso 1.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Paso 1.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Paso 1.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{27}$ y un punto dado $(3, \frac{1}{27})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{27}$ al numerador.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{- 1}{9}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{27}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Paso 2.3.2.5

Suma $3$ y $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Paso 3