Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{2}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = e^{2}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $e^{2}$ por $x$ .

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Paso 1.2.2

Simplifica $\ln ({(e^{2})}^{4})$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{4}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (e^{2 \cdot 4})$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \ln (e^{8})$

Paso 1.2.2.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $8$ fuera del exponente.

$y = 8 \ln (e)$

Paso 1.2.2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y = 8 \cdot 1$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$y = 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = e^{2}$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{4}{x^{4}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Paso 2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Paso 2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = e^{2}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{4}{e^{2}}$ y un punto dado $(e^{2}, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - (e^{2}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} x + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{4}{e^{2}}$ y $x$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $e^{2}$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $e^{2}$ de $- e^{2}$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + 4 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} - 4$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{4 x}{e^{2}} - 4 + 8$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 4$ y $8$ .

$y = \frac{4 x}{e^{2}} + 4$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{e^{2}} x + 4$

Paso 4