Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{3} - x^{2} + 6$ , $(2, 26)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 26$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} - 2 x + 0$

Paso 1.4.2

Suma $9 x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$9 x^{2} - 2 x$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$9 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$9 \cdot 4 - 2 \cdot 2$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$36 - 2 \cdot 2$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$36 - 4$

Paso 1.6.2

Resta $4$ de $36$ .

$32$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $32$ y un punto dado $(2, 26)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (26) = 32 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 26 = 32 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $32 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 26 = 0 + 0 + 32 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 26 = 32 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 26 = 32 x + 32 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $32$ por $- 2$ .

$y - 26 = 32 x - 64$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $26$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 32 x - 64 + 26$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 64$ y $26$ .

$y = 32 x - 38$

Paso 3